1. Sustitución:
Sea $u = x + 2$, por lo tanto $x = u - 2$ y $dx = du$.

2. Desarrollo:
Sustituimos en la integral:
$$ \int \frac{(u-2)^{2}}{u^{3}} du = \int \frac{u^{2} - 4u + 4}{u^{3}} du $$
Dividiendo términos:
$$ \int \left( \frac{1}{u} - \frac{4}{u^{2}} + \frac{4}{u^{3}} \right) du $$
Integrando:
$$ \ln|u| - 4\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) + 4\left(\frac{u^{-2}}{-2}\right) + C = \ln|u| + \frac{4}{u} - \frac{2}{u^{2}} + C $$

3. Resultado:
Sustituyendo $u = x+2$:
$$ \boxed{\ln|x+2| + \frac{4}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^{2}} + C} $$