Para resolver esta integral, utilizaremos el método de sustitución simple para simplificar el denominador.

1. Datos y sustitución:
Sea $u = x + 3$, de donde obtenemos:
$$ \begin{aligned} x &= u - 3 \\ dx &= du \end{aligned} $$

2. Transformación de la integral:
Sustituimos las expresiones en la integral original:
$$ \int \frac{(u-3)^{2}}{u^{2}} du $$
Desarrollamos el binomio al cuadrado en el numerador:
$$ \int \frac{u^{2} - 6u + 9}{u^{2}} du $$

3. Desarrollo paso a paso:
Dividimos cada término del numerador por el denominador $u^{2}$:
$$ \int \left( \frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{6u}{u^{2}} + \frac{9}{u^{2}} \right) du = \int \left( 1 - \frac{6}{u} + 9u^{-2} \right) du $$
Integramos término a término:
$$ \begin{aligned} \int 1 du - 6 \int \frac{1}{u} du + 9 \int u^{-2} du &= u - 6\ln|u| + 9\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) + C \\ &= u - 6\ln|u| - \frac{9}{u} + C \end{aligned} $$

4. Conclusión (Volver a la variable original):
Sustituimos $u = x + 3$:
$$ (x + 3) - 6\ln|x+3| - \frac{9}{x+3} + C $$
Podemos absorber la constante $3$ dentro de la constante general $C$:
$$ \boxed{x - 6\ln|x+3| - \frac{9}{x+3} + C} $$