1. Datos del problema:
Integral con una expresión irracional en el denominador de la forma $(x^n + 1)^{m/n}$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Factorización de potencias máximas.


• Sustitucion: $u^n = \frac{x^n+1}{x^n}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, factorizamos $x^4$ dentro del paréntesis elevado a la $3/4$:
$$ (x^4 + 1)^{3/4} = \left[ x^4 \left( 1 + \frac{1}{x^4} \right) \right]^{3/4} = (x^4)^{3/4} \left( 1 + \frac{1}{x^4} \right)^{3/4} = x^3 \left( 1 + x^{-4} \right)^{3/4} $$

Sustituimos esto en la integral original:
$$ \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + x^{-4})^{3/4}} = \int x^{-5} (1 + x^{-4})^{-3/4} \, dx $$

Realizamos el cambio de variable:
Sea $u = 1 + x^{-4}$.
Derivando: $du = -4x^{-5} \, dx \implies x^{-5} \, dx = -\frac{du}{4}$.

Sustituyendo en la integral:
$$ \int u^{-3/4} \left( -\frac{du}{4} \right) = -\frac{1}{4} \int u^{-3/4} \, du $$

Aplicamos la regla de la potencia para integrar:
$$ -\frac{1}{4} \left[ \frac{u^{1/4}}{1/4} \right] + C = -u^{1/4} + C $$

Regresamos a la variable $x$:
$$ -(1 + x^{-4})^{1/4} + C = -\left( \frac{x^4 + 1}{x^4} \right)^{1/4} + C = -\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{-\frac{\sqrt[4]{x^4 + 1}}{x} + C} $$