1. Datos del problema:
Integral con potencias de cotangente y cosecante (potencia negativa).

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$


• $\csc x = \frac{1}{\sin x} \implies \csc^{-8} x = \sin^8 x$

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos a senos y cosenos:
$$ \int \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x} \cdot \sin^8 x \, dx = \int \cos^3 x \cdot \sin^5 x \, dx $$

Para resolver $\int \sin^5 x \cos^3 x \, dx$:
Separamos un $\cos x$ y usamos $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$$ \int \sin^5 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx $$

Sea $u = \sin x \implies du = \cos x \, dx$:
$$ \int u^5 (1 - u^2) \, du = \int (u^5 - u^7) \, du $$
$$ = \frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8} + C $$

Reemplazando $u = \sin x$:
$$ = \frac{\sin^6 x}{6} - \frac{\sin^8 x}{8} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int \cot^{3} x \cdot \csc^{-8} x \, dx = \frac{\sin^6 x}{6} - \frac{\sin^8 x}{8} + C} $$