1. Datos del problema:
Integral cíclica de la potencia impar de la cosecante.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.


• Identidad: $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$.


• Integral básica: $\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $I = \int \csc^3 x \, dx$. Aplicamos partes:
$u = \csc x \implies du = -\csc x \cot x \, dx$
$dv = \csc^2 x \, dx \implies v = -\cot x$

$$ I = -\csc x \cot x - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx $$
$$ I = -\csc x \cot x - \int \csc x \cot^2 x \, dx $$

Usando $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$:
$$ I = -\csc x \cot x - \int \csc x (\csc^2 x - 1) \, dx $$
$$ I = -\csc x \cot x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx $$
$$ I = -\csc x \cot x - I + \ln|\csc x - \cot x| $$

Sumando $I$ a ambos lados:
$$ 2I = -\csc x \cot x + \ln|\csc x - \cot x| $$
$$ I = \frac{1}{2} \left( -\csc x \cot x + \ln|\csc x - \cot x| \right) + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int \csc^{3} x \, dx = -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C} $$