1. Datos del problema:
Se presenta una integral de productos de funciones trigonométricas donde una de ellas es la derivada (salvo el signo) de la otra.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Derivada de la cotangente: $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$.


• Regla de la potencia para integrales: $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Utilizamos el método de sustitución (cambio de variable).
Sea:
$$ u = \cot x \implies du = -\csc^2 x \, dx $$
De donde:
$$ -du = \csc^2 x \, dx $$

Sustituyendo en la integral original:
$$ \int \cot^2 x \cdot (\csc^2 x \, dx) = \int u^2 (-du) $$
$$ = -\int u^2 \, du $$

Aplicando la regla de la potencia:
$$ = -\frac{u^3}{3} + C $$

Regresando a la variable original $x$:
$$ = -\frac{\cot^3 x}{3} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int \csc^{2} x \cdot \cot^{2} x \, dx = -\frac{1}{3}\cot^3 x + C} $$