1. Datos del problema:
Integral de secante a la séptima potencia.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Fórmula de reducción: $\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para $n=7$:
$$ I_7 = \frac{\sec^5 x \tan x}{6} + \frac{5}{6} I_5 $$

Sustituyendo $I_5$ del ejercicio 3:
$$ I_7 = \frac{1}{6} \sec^5 x \tan x + \frac{5}{6} \left[ \frac{1}{4} \sec^3 x \tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{8} \ln |\sec x + \tan x| \right] $$
$$ I_7 = \frac{1}{6} \sec^5 x \tan x + \frac{5}{24} \sec^3 x \tan x + \frac{15}{48} \sec x \tan x + \frac{15}{48} \ln |\sec x + \tan x| + C $$

Simplificando fracciones ($\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$):
$$ \frac{1}{6} \sec^5 x \tan x + \frac{5}{24} \sec^3 x \tan x + \frac{5}{16} \sec x \tan x + \frac{5}{16} \ln |\sec x + \tan x| + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{6} \sec^5 x \tan x + \frac{5}{24} \sec^3 x \tan x + \frac{5}{16} \sec x \tan x + \frac{5}{16} \ln |\sec x + \tan x| + C} $$