1. Datos del problema:
Integral del tipo $\int \tan^n x \sec^m x \, dx$ con $m$ par.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$.


• Sustitución $u = \tan x$, $du = \sec^2 x \, dx$.

3. Desarrollo paso a paso:
Separamos un factor $\sec^2 x$ para formar el diferencial:
$$ \int \tan^2 x \cdot \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx $$

Expresamos el término $\sec^2 x$ restante en función de la tangente:
$$ \int \tan^2 x (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx $$

Hacemos $u = \tan x$, $du = \sec^2 x \, dx$:
$$ \int u^2 (1 + u^2) \, du = \int (u^2 + u^4) \, du $$

Integrando término a término:
$$ \frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C $$

Regresando a $x$:
$$ \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\tan^5 x}{5} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{3} \tan^3 x + \frac{1}{5} \tan^5 x + C} $$