1. Datos del problema:
Se presenta una integral de la forma $\int \tan^n x \cdot \sec^m x \, dx$, donde la potencia de la secante es par.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Método de sustitución simple.


• Derivada de la función tangente: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$.


• Regla de la potencia para integrales: $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Observamos que el diferencial de $\tan x$ es exactamente $\sec^2 x \, dx$, lo cual facilita una sustitución directa.

Definimos la variable de sustitución:
$$ u = \tan x \implies du = \sec^2 x \, dx $$

Sustituyendo en la integral original:
$$ \int u^4 \, du $$

Aplicamos la regla de la potencia:
$$ \frac{u^{4+1}}{4+1} + C = \frac{u^5}{5} + C $$

Finalmente, regresamos a la variable original $x$:
$$ \frac{(\tan x)^5}{5} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{5} \tan^5 x + C} $$