1. Datos del problema:
Se presenta una integral de la forma $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$ donde el exponente del coseno ($n=3$) es impar y positivo.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad pitagórica: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$


• Diferencial: si $u = \sin x$, entonces $du = \cos x \, dx$

3. Desarrollo paso a paso:
Separamos un factor de $\cos x$ para preparar la sustitución:
$$ \int \sin^2 x \cdot \cos^2 x \cdot \cos x \, dx $$
Sustituimos $\cos^2 x$ por $1 - \sin^2 x$:
$$ \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int (\sin^2 x - \sin^4 x) \cos x \, dx $$
Aplicamos el cambio de variable $u = \sin x \Rightarrow du = \cos x \, dx$:
$$ \int (u^2 - u^4) \, du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C $$
Regresamos a la variable original $x$:
$$ \boxed{\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C} $$