1. Datos del problema:
Se solicita integrar una función racional con un término de tercer grado en el denominador.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$.


• Artificio de sustitución: Multiplicar y dividir para obtener la derivada.

3. Desarrollo paso a paso:
Para facilitar la integración, multiplicamos y dividimos el integrando por $x^2$:
$$ I = \int \frac{x^2}{x^3(1 + x^3)} \, dx $$
Hacemos el cambio de variable:
$$ u = x^3 \implies du = 3x^2 \, dx \implies \frac{du}{3} = x^2 \, dx $$
Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{1/3 \, du}{u(1 + u)} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u(1 + u)} $$
Aplicamos fracciones parciales para el término $\frac{1}{u(1 + u)}$:
$$ \frac{1}{u(1 + u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 + u} \implies 1 = A(1 + u) + Bu $$
Si $u = 0 \implies A = 1$.
Si $u = -1 \implies B = -1$.
Entonces:
$$ I = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} \right) \, du $$
Integrando cada término:
$$ I = \frac{1}{3} (\ln|u| - \ln|1 + u|) + C $$
Por propiedad de logaritmos $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$:
$$ I = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{u}{1 + u} \right| + C $$
Regresamos a la variable $x^3$:
$$ I = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x^3}{1 + x^3} \right| + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{3} \ln \left| \frac{x^3}{1 + x^3} \right| + C} $$