1. Datos del problema:
Se presenta una integral que contiene una cadena de funciones exponenciales de base 5.

2. Fórmulas y propiedades:

• Derivada de una función exponencial: $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln(a) \cdot \frac{du}{dx}$.


• Integral de una constante: $\int du = u + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Utilizaremos el método de sustitución (cambio de variable). Sea:
$$ u = 5^{5^{5^x}} $$
Derivamos $u$ con respecto a $x$ aplicando la regla de la cadena sucesivamente:
$$ \frac{du}{dx} = 5^{5^{5^x}} \cdot \ln(5) \cdot \frac{d}{dx}(5^{5^x}) $$
$$ \frac{du}{dx} = 5^{5^{5^x}} \cdot \ln(5) \cdot \left( 5^{5^x} \cdot \ln(5) \cdot \frac{d}{dx}(5^x) \right) $$
$$ \frac{du}{dx} = 5^{5^{5^x}} \cdot \ln(5) \cdot 5^{5^x} \cdot \ln(5) \cdot \left( 5^x \cdot \ln(5) \right) $$
Agrupando los términos constantes $(\ln 5)$:
$$ du = 5^{5^{5^x}} \cdot 5^{5^x} \cdot 5^x \cdot (\ln 5)^3 \, dx $$
Despejamos el diferencial presente en la integral original:
$$ \frac{du}{(\ln 5)^3} = 5^{5^{5^x}} \cdot 5^{5^x} \cdot 5^x \, dx $$

Sustituimos en la integral original:
$$ \int \frac{1}{(\ln 5)^3} \, du = \frac{1}{(\ln 5)^3} \int du $$
$$ = \frac{u}{(\ln 5)^3} + C $$
Regresamos a la variable original $x$:
$$ \frac{5^{5^{5^x}}}{(\ln 5)^3} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{5^{5^{5^x}}}{\ln^3 5} + C} $$