1. Datos del problema:
Integral de una raíz que contiene un logaritmo, dividida por $x$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = 2 + \ln x$. Entonces $du = \frac{1}{x} dx$.
La integral se transforma en:
$$ I = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du $$
Aplicamos la regla de la potencia:
$$ I = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u \sqrt{u} + C $$
Sustituimos $u$ por su valor original:
$$ I = \frac{2}{3} (2 + \ln x)^{3/2} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \frac{2}{3} (2 + \ln x) \sqrt{2 + \ln x} + C } $$