1. Datos del problema:
Se presenta una integral que contiene una función racional de $\sqrt{x}$. El término en el denominador sugiere el uso del método de sustitución simple.

2. Fórmulas y propiedades:

• Método de sustitución: si $u = g(x)$, entonces $du = g'(x)dx$.


• Regla de la potencia para integración: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea la sustitución:
$$ u = 4 + 3\sqrt{x} $$
Derivamos respecto a $x$:
$$ \frac{du}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $$
Despejamos el diferencial conveniente para la integral:
$$ du = \frac{3}{2\sqrt{x}} dx \implies \frac{2}{3} du = \frac{dx}{\sqrt{x}} $$

Sustituimos en la integral original:
$$ I = \int \frac{1}{(4 + 3\sqrt{x})^2} \cdot \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \frac{1}{u^2} \left( \frac{2}{3} du \right) $$
$$ I = \frac{2}{3} \int u^{-2} du $$

Integrando mediante la regla de la potencia:
$$ I = \frac{2}{3} \left( \frac{u^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = \frac{2}{3} \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C $$
$$ I = -\frac{2}{3u} + C $$

Regresamos a la variable original $x$:
$$ I = -\frac{2}{3(4 + 3\sqrt{x})} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{x} (4 + 3\sqrt{x})^2} = -\frac{2}{12 + 9\sqrt{x}} + C } $$