1. Análisis inicial:
Esta integral requiere una manipulación algebraica antes de la sustitución. Extraemos $x^4$ del paréntesis:
$$ (1 + x^4)^{3/4} = (x^4(x^{-4} + 1))^{3/4} = (x^4)^{3/4} (x^{-4} + 1)^{3/4} = x^3 (1 + x^{-4})^{3/4} $$

2. Reescritura de la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + x^{-4})^{3/4}} = \int x^{-5} (1 + x^{-4})^{-3/4} \, dx $$

3. Sustitución:
Sea $u = 1 + x^{-4}$.
Derivamos: $du = -4x^{-5} \, dx \implies x^{-5} \, dx = -\frac{du}{4}$.

4. Desarrollo:
Sustituimos en la integral:
$$ \int u^{-3/4} \left( -\frac{du}{4} \right) = -\frac{1}{4} \int u^{-3/4} \, du $$
Integrando por regla de la potencia:
$$ -\frac{1}{4} \left( \frac{u^{1/4}}{1/4} \right) + C = -u^{1/4} + C $$
Sustituimos $u = 1 + x^{-4}$:
$$ -(1 + x^{-4})^{1/4} + C = -\left( \frac{x^4 + 1}{x^4} \right)^{1/4} + C = -\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + C $$

5. Resultado final:
$$ \boxed{-\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + C} $$