1. Datos y análisis previo:
La integral presenta una función de la forma $x^x$ tanto en el numerador como en el denominador. Observamos que el numerador contiene el término $(1 + \ln x)$, el cual está estrechamente relacionado con la derivada de $x^x$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Derivada de una función exponencial de base variable: $\frac{d}{dx}(x^x)$.

Sea $y = x^x$, entonces $\ln y = x \ln x$. Derivando implícitamente:
$$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \implies \frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Utilizamos el método de sustitución (cambio de variable).
Sea:
$$ u = x^x + 1 $$
Calculamos el diferencial $du$:
$$ du = x^x(1 + \ln x) \, dx $$
Sustituimos estos valores en la integral original:
$$ \int \frac{x^x(1 + \ln x)}{x^x + 1} \, dx = \int \frac{du}{u} $$
La integral de $1/u$ es el logaritmo natural:
$$ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C $$
Volvemos a la variable original $x$:
$$ \ln|x^x + 1| + C $$

4. Resultado final:
Dado que $x^x + 1 > 0$ para todo $x > 0$ en el dominio de la función, podemos omitir el valor absoluto.
$$ \boxed{\ln(x^x + 1) + C} $$