1. Artificio matemático:
Multiplicamos y dividimos por una constante conveniente: $\sin(a-b)$. Notamos que $(a-b) = (x-b) - (x-a)$.
$$ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin((x-b) - (x-a))}{\sin(x-a)\sin(x-b)} \, dx $$

2. Desarrollo del numerador:
$$ \sin((x-b) - (x-a)) = \sin(x-b)\cos(x-a) - \cos(x-b)\sin(x-a) $$
Sustituyendo en la integral:
$$ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \left( \frac{\sin(x-b)\cos(x-a)}{\sin(x-a)\sin(x-b)} - \frac{\cos(x-b)\sin(x-a)}{\sin(x-a)\sin(x-b)} \right) dx $$
$$ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int (\cot(x-a) - \cot(x-b)) \, dx $$

3. Integración:
$$ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \left( \ln|\sin(x-a)| - \ln|\sin(x-b)| \right) + C $$
Por propiedades de logaritmos $\ln A - \ln B = \ln(A/B)$:
$$ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \ln\left| \frac{\sin(x-a)}{\sin(x-b)} \right| + C $$

Resultado final:
$$ \boxed{I = \frac{1}{\sin(a-b)} \ln\left| \frac{\sin(x-a)}{\sin(x-b)} \right| + C} $$