1. Datos:
Integral que combina identidades de ángulo doble y funciones trigonométricas al cuadrado.

2. Propiedades:

• Derivada de $\sin^2 x$: $\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$


• Derivada de $\cos^2 x$: $\frac{d}{dx}(\cos^2 x) = 2 \cos x (-\sin x) = -\sin 2x$

3. Desarrollo:
Sea $u = a \sin^2 x + b \cos^2 x$.
Calculamos el diferencial $du$:
$$ \begin{aligned} du &= \left( a(2 \sin x \cos x) + b(-2 \sin x \cos x) \right) dx \\ du &= (a \sin 2x - b \sin 2x) dx \\ du &= (a - b) \sin 2x dx \end{aligned} $$
Por lo tanto, $\sin 2x dx = \frac{du}{a - b}$. Sustituyendo en la integral:
$$ \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{a - b} = \frac{1}{a - b} \int \frac{du}{u} $$
Integrando obtenemos:
$$ \frac{1}{a - b} \ln|u| + C $$
Sustituyendo $u$ de nuevo:
$$ \boxed{\frac{1}{a - b} \ln|a \sin^2 x + b \cos^2 x| + C} $$