1. Análisis de los datos:
Se nos presenta una integral que involucra una función exponencial con exponente negativo en el denominador. Para facilitar la integración, buscaremos una forma más simple mediante manipulación algebraica.

2. Propiedades y fórmulas usadas:

• Propiedad de exponentes: $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$


• Integral de la forma: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$


• Método de sustitución u-v.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por $e^x$ para eliminar el exponente negativo:
$$ \int \frac{dx}{1 + e^{-x}} = \int \frac{e^x \cdot dx}{e^x(1 + e^{-x})} = \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx $$

Ahora, aplicamos un cambio de variable (sustitución):
Sea $u = e^x + 1$.
Derivando respecto a $x$: $du = e^x dx$.

Sustituyendo estos valores en la integral original:
$$ \int \frac{1}{u} du $$

Aplicamos la regla de integración para el logaritmo natural:
$$ \ln|u| + C $$

Finalmente, volvemos a la variable original $x$:
$$ \boxed{\ln(e^x + 1) + C} $$
Nota: No se requiere valor absoluto ya que $e^x + 1$ siempre es positivo.