1. Identidades usadas:
Observamos que el argumento del numerador se puede expresar como la diferencia de los argumentos del denominador: $2x = 5x - 3x$.
Usamos la identidad: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\sin 2x = \sin(5x - 3x)$ en la integral:
$$ I = \int \frac{\sin(5x - 3x)}{\sin 5x \sin 3x} dx $$
Expandimos el numerador:
$$ I = \int \frac{\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} dx $$
Dividimos la fracción en dos términos:
$$ I = \int \left( \frac{\sin 5x \cos 3x}{\sin 5x \sin 3x} - \frac{\cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \right) dx $$
Simplificando:
$$ I = \int ( \cot 3x - \cot 5x ) dx $$
La integral de $\cot(ax)$ es $\frac{1}{a} \ln|\sin(ax)|$:
$$ I = \frac{1}{3} \ln|\sin 3x| - \frac{1}{5} \ln|\sin 5x| + C $$
$$ \boxed{ I = \frac{1}{3} \ln|\sin 3x| - \frac{1}{5} \ln|\sin 5x| + C } $$