1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función racional donde el denominador tiene un factor lineal y uno cúbico.

2. Fórmulas y propiedades:

• Método de sustitución: $u = f(x) \implies du = f'(x) dx$.


• Integral de una potencia: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.


• Integral de logaritmo: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para facilitar la integración, multiplicamos y dividimos por $x^2$ para preparar una sustitución:
$$ I = \int \frac{x^2 dx}{x^3(x^3 + 1)} $$
Sea $u = x^3$, entonces $du = 3x^2 dx \implies \frac{du}{3} = x^2 dx$. Sustituyendo:
$$ I = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u(u+1)} $$
Aplicamos fracciones parciales:
$$ \frac{1}{u(u+1)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} $$
Integramos término a término:
$$ I = \frac{1}{3} \left( \int \frac{du}{u} - \int \frac{du}{u+1} \right) $$
$$ I = \frac{1}{3} \left( \ln|u| - \ln|u+1| \right) + C $$
Usando propiedades de logaritmos y volviendo a la variable original $x$:
$$ \boxed{ I = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{x^3}{x^3 + 1} \right| + C } $$