1. Datos del problema:
Integral de una función racional con exponencial en el denominador.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Artificio algebraico: sumar y restar un término o multiplicar por el conjugado/exponencial negativo.


• Integral de la forma $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Método 1: Artificio de suma y resta.
Sumamos y restamos $e^x$ en el numerador:
$$ \int \frac{1 + e^x - e^x}{1 + e^x} \, dx = \int \left( \frac{1 + e^x}{1 + e^x} - \frac{e^x}{1 + e^x} \right) dx $$
$$ \int (1 - \frac{e^x}{1 + e^x}) \, dx $$
Separamos en dos integrales:
$$ \int 1 \, dx - \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx $$
La primera es $x$. Para la segunda, hacemos $u = 1 + e^x \implies du = e^x dx$:
$$ x - \int \frac{du}{u} = x - \ln|1 + e^x| + C $$

Método 2: Multiplicar por $e^{-x}$.
Multiplicamos numerador y denominador por $e^{-x}$:
$$ \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} \, dx $$
Sea $u = e^{-x} + 1 \implies du = -e^{-x} dx$:
$$ -\int \frac{du}{u} = -\ln|e^{-x} + 1| + C $$
Ambas respuestas son equivalentes.

4. Resultado final:
$$ \boxed{x - \ln(1 + e^x) + C} $$