1. Datos del problema:
Una integral que combina funciones exponenciales, algebraicas y trigonométricas. El argumento de la función coseno es un producto.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Regla del producto para derivadas: $(fg)' = f'g + fg'$.


• Identidad trigonométrica: $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$.


• Integral de la secante cuadrada: $\int \sec^2 u \, du = \tan u + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u$ el argumento del coseno:
$$ u = x e^x $$
Derivamos respecto a $x$ usando la regla del producto:
$$ du = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) \, dx = (e^x + x e^x) \, dx $$
Observamos que el numerador es exactamente $du$. Sustituimos:
$$ \int \frac{du}{\cos^2 u} = \int \sec^2 u \, du $$
La integral resulta en:
$$ \tan u + C $$
Sustituimos el valor de $u$:
$$ \tan(x e^x) + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan(x e^x) + C} $$