1. Datos del problema:
Se nos pide hallar la antiderivada de una función racional trigonométrica. Observamos que el numerador es muy similar a la derivada del denominador.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Método de sustitución simple: Si $u = g(x)$, entonces $du = g'(x)dx$.


• Derivada de funciones trigonométricas: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ y $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$.


• Integral de la función recíproca: $\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea el cambio de variable:
$$ u = \sin x + \cos x $$
Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$ du = (\cos x - \sin x) \, dx $$
Notamos que el numerador de nuestra integral original coincide exactamente con $du$. Sustituimos en la integral:
$$ \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du $$
Integrando obtenemos:
$$ \ln|u| + C $$
Regresamos a la variable original $x$:
$$ \ln|\sin x + \cos x| + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\ln|\sin x + \cos x| + C} $$