1. Identificación del problema:
Se presenta una integral con funciones irracionales en el denominador. El método más eficiente es racionalizar el denominador para simplificar la expresión.

2. Fórmulas y propiedades:

• Diferencia de cuadrados: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.


• Regla de la potencia para integración: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador:
$$ \frac{1}{\sqrt{2x + 2014} + \sqrt{2x + 3013}} \cdot \frac{\sqrt{2x + 2014} - \sqrt{2x + 3013}}{\sqrt{2x + 2014} - \sqrt{2x + 3013}} $$
$$ = \frac{\sqrt{2x + 2014} - \sqrt{2x + 3013}}{(2x + 2014) - (2x + 3013)} = \frac{\sqrt{2x + 2014} - \sqrt{2x + 3013}}{-999} $$

Sustituyendo en la integral:
$$ I = -\frac{1}{999} \int (\sqrt{2x + 2014} - \sqrt{2x + 3013}) dx $$
Aplicamos la integral a cada término:
$$ I = -\frac{1}{999} \left[ \int (2x + 2014)^{1/2} dx - \int (2x + 3013)^{1/2} dx \right] $$
Utilizando la sustitución lineal $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$:
$$ I = -\frac{1}{999} \left[ \frac{(2x + 2014)^{3/2}}{2 \cdot \frac{3}{2}} - \frac{(2x + 3013)^{3/2}}{2 \cdot \frac{3}{2}} \right] $$
$$ I = -\frac{1}{999} \left[ \frac{(2x + 2014)^{3/2}}{3} - \frac{(2x + 3013)^{3/2}}{3} \right] $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{I = \frac{(2x + 3013)^{3/2} - (2x + 2014)^{3/2}}{2997} + C} $$