1. Datos y análisis previo:
Se presenta una integral donde el denominador contiene una diferencia de raíces cuadradas. La estrategia más eficiente es eliminar las raíces del denominador mediante la racionalización.

2. Fórmulas y propiedades:

• Diferencia de cuadrados: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$


• Integral de una potencia: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

3. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador:
$$ \int \frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} dx $$
Aplicando la diferencia de cuadrados en el denominador:
$$ \int \frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}}{(\sqrt{x + 2})^2 - (\sqrt{x + 1})^2} dx = \int \frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}}{(x + 2) - (x + 1)} dx $$
Simplificando el denominador: $(x + 2) - (x + 1) = 1$. La integral se reduce a:
$$ \int (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}) dx = \int (x + 2)^{1/2} dx + \int (x + 1)^{1/2} dx $$
Integrando cada término mediante la regla de la potencia:
$$ \frac{(x + 2)^{3/2}}{3/2} + \frac{(x + 1)^{3/2}}{3/2} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} + \frac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C} $$