I
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_059
Guía de ejercicios
Enunciado
Evaluar:
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\right) dx $$
$$ \int \tan^{-1}\left(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\right) dx $$
Solución Paso a Paso
1. Identidades de ángulo doble:
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
$1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$
2. Simplificación:
$$ \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x $$
3. Integración:
$$ \int \tan^{-1}(\tan x) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C $$
Resultado:
$$ \boxed{\frac{x^2}{2} + C} $$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
$1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$
2. Simplificación:
$$ \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x $$
3. Integración:
$$ \int \tan^{-1}(\tan x) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C $$
Resultado:
$$ \boxed{\frac{x^2}{2} + C} $$