1. Datos y simplificación:
Para simplificar la expresión, usamos las identidades de ángulo medio. Primero transformamos el seno en coseno:
$1 - \sin x = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$
$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$

Sustituyendo en la raíz:
$$ \sqrt{\frac{2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}} = \sqrt{\tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) $$

2. Aplicación de la función inversa:
La integral se reduce a:
$$ \int \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) dx = \int \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) dx $$

3. Desarrollo:
$$ \int \frac{\pi}{4} dx - \int \frac{x}{2} dx = \frac{\pi}{4}x - \frac{x^2}{4} + C $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{\pi x - x^2}{4} + C} $$