1. Datos del problema:
Integral de una función trigonométrica inversa con cociente de funciones de ángulo doble.

2. Propiedades usadas:

• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$


• $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos la expresión interna:
$$ \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x $$
Por lo tanto, el integrando es:
$$ \tan^{-1}(\tan x) = x $$
Resolvemos la integral:
$$ I = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{x^2}{2} + C} $$