1. Datos del problema:
Integral que combina una fracción trigonométrica con una función de ángulo doble.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad fundamental expandida: $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$


• Sustitución simple (si fuera necesaria, aunque aquí es simplificación directa).

3. Desarrollo paso a paso:

Primero, transformamos el término $(1 + \sin 2x)$. Sabemos que:
$$ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $$
$$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $$
Sumando ambos:
$$ 1 + \sin 2x = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 $$

Sustituimos esto en la integral:
$$ \int \left( \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right) (\cos x + \sin x)^2 \, dx $$

Cancelamos un factor de $(\cos x + \sin x)$ del numerador y denominador:
$$ \int (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \, dx $$

Reconocemos un producto notable (diferencia de cuadrados):
$$ \int (\cos^2 x - \sin^2 x) \, dx $$

Utilizamos la identidad del ángulo doble para el coseno ($\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$):
$$ \int \cos 2x \, dx $$

Calculamos la integral:
$$ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{2}\sin 2x + C} $$