1. Datos del problema:
Se solicita hallar la antiderivada de una función racional trigonométrica.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad del ángulo doble: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$


• Identidad fundamental: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (si fuera necesaria)


• Integrales básicas: $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ y $\int 1 \, dx = x + C$

3. Desarrollo paso a paso:

Primero, simplificamos el numerador utilizando la identidad del ángulo doble:
$$ \cos x - \cos 2x = \cos x - (2\cos^2 x - 1) = -2\cos^2 x + \cos x + 1 $$

Reescribimos la expresión como una ecuación cuadrática en términos de $\cos x$ para factorizarla:
$$ -2\cos^2 x + \cos x + 1 = -(2\cos^2 x - \cos x - 1) $$
Factorizando el trinomio:
$$ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = (2\cos x + 1)(\cos x - 1) $$
Por lo tanto:
$$ \cos x - \cos 2x = -(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = (2\cos x + 1)(1 - \cos x) $$

Sustituimos esta simplificación en la integral original:
$$ \int \frac{(2\cos x + 1)(1 - \cos x)}{1 - \cos x} dx $$

Cancelamos el término $(1 - \cos x)$ en el numerador y denominador (asumiendo $\cos x \neq 1$):
$$ \int (2\cos x + 1) dx $$

Aplicamos la linealidad de la integral:
$$ 2 \int \cos x \, dx + \int 1 \, dx $$
$$ 2\sin x + x + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x + 2\sin x + C} $$