1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función racional trigonométrica simple.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad pitagórica: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \implies 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.


• Identidad de recíprocos: $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ y $\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x \sec x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para resolver esta integral, multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada del denominador $(1 + \sin x)$:
$$ I = \int \frac{1 \cdot (1 + \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \, dx $$
$$ I = \int \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^2 x} \, dx $$
Aplicamos la identidad pitagórica en el denominador:
$$ I = \int \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \, dx $$
Distribuimos el denominador:
$$ I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) \, dx $$
$$ I = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) \, dx $$
Integramos término a término:
$$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x $$
$$ \int \sec x \tan x \, dx = \sec x $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \tan x + \sec x + C } $$