1. División de polinomios:
Como el grado del numerador es mayor al del denominador, dividimos:
$x^4 + 2$ entre $x^2 + 2$:
$$ \frac{x^4 + 2}{x^2 + 2} = (x^2 - 2) + \frac{6}{x^2 + 2} $$

2. Integración por partes:
$$ \int (x^2 - 2) dx + \int \frac{6}{x^2 + 2} dx $$
Para la segunda integral, usamos la fórmula $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$, donde $a = \sqrt{2}$.
$$ \frac{x^3}{3} - 2x + 6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C $$
Simplificando $6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$:
$$ \boxed{\frac{x^3}{3} - 2x + 3\sqrt{2} \arctan \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C} $$