Iv
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_026
Guía de Cálculo I
Enunciado
Paso 1:
Evaluar: $\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \sec x + \cos x}$
Evaluar: $\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \sec x + \cos x}$
Solución Paso a Paso
1. Análisis y simplificación del integrando:
Primero, expresamos todas las funciones trigonométricas en términos de $\operatorname{sen} x$ y $\cos x$:
$$ f(x) = \frac{1}{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} + \frac{1}{\cos x} + \cos x} $$
Obtenemos un denominador común para las tres primeras fracciones: $\operatorname{sen} x \cos x$.
$$ \tan x + \cot x + \sec x = \frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} = \frac{1 + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
Sumando el término restante $\cos x$:
$$ \frac{1 + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} + \cos x = \frac{1 + \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x \cos^2 x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
Usando la identidad $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$:
$$ \frac{1 + \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x (1 - \operatorname{sen}^2 x)}{\operatorname{sen} x \cos x} = \frac{1 + 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen}^3 x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
El integrando original se convierte en:
$$ \int \frac{\operatorname{sen} x \cos x}{1 + 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen}^3 x} dx $$
2. Sustitución:
Sea $u = \operatorname{sen} x$, entonces $du = \cos x \, dx$. La integral se transforma en una integral de función racional:
$$ \int \frac{u}{1 + 2u - u^3} du = \int \frac{u}{-(u^3 - 2u - 1)} du $$
Factorizando el denominador: observamos que $u = -1$ es raíz ($-1 + 2 - 1 = 0$). Por división sintética: $u^3 - 2u - 1 = (u + 1)(u^2 - u - 1)$.
$$ \int \frac{-u}{(u + 1)(u^2 - u - 1)} du $$
3. Fracciones parciales:
$$ \frac{-u}{(u + 1)(u^2 - u - 1)} = \frac{A}{u + 1} + \frac{Bu + C}{u^2 - u - 1} $$
Resolviendo el sistema se obtiene $A = -1$, $B = 1$, $C = 0$.
$$ \int \left( \frac{-1}{u + 1} + \frac{u}{u^2 - u - 1} \right) du = -\ln|u+1| + \frac{1}{2}\int \frac{2u-1+1}{u^2-u-1} du $$
$$ = -\ln|u+1| + \frac{1}{2}\ln|u^2-u-1| + \frac{1}{2} \int \frac{du}{(u-1/2)^2 - 5/4} $$
4. Resultado final:
Reemplazando $u = \operatorname{sen} x$ y aplicando la fórmula de integral logarítmica para el término cuadrático:
$$ \boxed{ -\ln|1+\operatorname{sen} x| + \frac{1}{2}\ln|\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x - 1| + \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln \left| \frac{2\operatorname{sen} x - 1 - \sqrt{5}}{2\operatorname{sen} x - 1 + \sqrt{5}} \right| + C } $$
Primero, expresamos todas las funciones trigonométricas en términos de $\operatorname{sen} x$ y $\cos x$:
$$ f(x) = \frac{1}{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} + \frac{1}{\cos x} + \cos x} $$
Obtenemos un denominador común para las tres primeras fracciones: $\operatorname{sen} x \cos x$.
$$ \tan x + \cot x + \sec x = \frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} = \frac{1 + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
Sumando el término restante $\cos x$:
$$ \frac{1 + \operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x \cos x} + \cos x = \frac{1 + \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x \cos^2 x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
Usando la identidad $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x$:
$$ \frac{1 + \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x (1 - \operatorname{sen}^2 x)}{\operatorname{sen} x \cos x} = \frac{1 + 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen}^3 x}{\operatorname{sen} x \cos x} $$
El integrando original se convierte en:
$$ \int \frac{\operatorname{sen} x \cos x}{1 + 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen}^3 x} dx $$
2. Sustitución:
Sea $u = \operatorname{sen} x$, entonces $du = \cos x \, dx$. La integral se transforma en una integral de función racional:
$$ \int \frac{u}{1 + 2u - u^3} du = \int \frac{u}{-(u^3 - 2u - 1)} du $$
Factorizando el denominador: observamos que $u = -1$ es raíz ($-1 + 2 - 1 = 0$). Por división sintética: $u^3 - 2u - 1 = (u + 1)(u^2 - u - 1)$.
$$ \int \frac{-u}{(u + 1)(u^2 - u - 1)} du $$
3. Fracciones parciales:
$$ \frac{-u}{(u + 1)(u^2 - u - 1)} = \frac{A}{u + 1} + \frac{Bu + C}{u^2 - u - 1} $$
Resolviendo el sistema se obtiene $A = -1$, $B = 1$, $C = 0$.
$$ \int \left( \frac{-1}{u + 1} + \frac{u}{u^2 - u - 1} \right) du = -\ln|u+1| + \frac{1}{2}\int \frac{2u-1+1}{u^2-u-1} du $$
$$ = -\ln|u+1| + \frac{1}{2}\ln|u^2-u-1| + \frac{1}{2} \int \frac{du}{(u-1/2)^2 - 5/4} $$
4. Resultado final:
Reemplazando $u = \operatorname{sen} x$ y aplicando la fórmula de integral logarítmica para el término cuadrático:
$$ \boxed{ -\ln|1+\operatorname{sen} x| + \frac{1}{2}\ln|\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x - 1| + \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln \left| \frac{2\operatorname{sen} x - 1 - \sqrt{5}}{2\operatorname{sen} x - 1 + \sqrt{5}} \right| + C } $$