1. Factorización del numerador:
Usamos la propiedad de diferencia de cuadrados completando el trinomio:
$$ x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 $$
Esto es una diferencia de cuadrados:
$$ (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) $$
2. Simplificación de la fracción:
Sustituimos en la integral:
$$ \frac{(x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^4 + x^2 + 1} = x^4 - x^2 + 1 $$
3. Integración final:
$$ \int (x^4 - x^2 + 1) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C $$
$$ \boxed{I = \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C} $$