1. Desarrollo del numerador:
Expandimos el binomio al cuadrado:
$$ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 $$
La integral queda como:
$$ \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x(1 + x^2)} dx $$
2. Descomposición de la fracción:
Separamos los términos para simplificar:
$$ \frac{x^2 + 1 + 2x}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} + \frac{2x}{x(x^2 + 1)} $$
Simplificando cada fracción:
$$ \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2 + 1} $$
3. Integración:
$$ \int \frac{1}{x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \ln|x| + 2\arctan(x) + C $$
$$ \boxed{I = \ln|x| + 2\arctan(x) + C} $$