1. Datos y simplificación del denominador:
Convertimos todas las funciones trigonométricas a términos de $\sin x$ y $\cos x$:
$$ \begin{aligned} \tan x + \cot x + \sec x + \cos x &= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} + \cos x \\ &= \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} + \frac{1 + \cos^2 x}{\cos x} \\ &= \frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{1 + \cos^2 x}{\cos x} \end{aligned} $$
Sumando las fracciones:
$$ \frac{1 + \sin x(1 + \cos^2 x)}{\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin x + \sin x \cos^2 x}{\sin x \cos x} \end{aligned} $$
La integral se convierte en:
$$ I = \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin x + \sin x \cos^2 x} dx $$
Usando la identidad $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$$ I = \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin x + \sin x (1 - \sin^2 x)} dx = \int \frac{\sin x \cos x}{1 + 2\sin x - \sin^3 x} dx $$
2. Cambio de variable:
Sea $u = \sin x$, entonces $du = \cos x dx$.
$$ I = \int \frac{u}{1 + 2u - u^3} du $$
Factorizando el denominador: $1 + 2u - u^3 = (1 + u)(1 + u - u^2)$.
Luego se procede por fracciones parciales para obtener el resultado.

$$ \boxed{I = \int \frac{\sin x \cos x}{\tan x + \cot x + \sec x + \cos x} dx} $$