1. Datos del problema:
Se da la derivada de una función y un punto por el que pasa la función original para hallar la constante de integración.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$


• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$

3. Desarrollo paso a paso:
Calculamos la integral indefinida de $f'(x)$:
$$ f(x) = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = \ln|x| + \arcsin x + C $$
Usamos la condición inicial $f(1) = \frac{\pi}{2}$ para encontrar $C$:
$$ \frac{\pi}{2} = \ln|1| + \arcsin(1) + C $$
Sabemos que $\ln 1 = 0$ y $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$:
$$ \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} + C \implies C = 0 $$
Por lo tanto, la función es:
$$ \boxed{ f(x) = \ln|x| + \arcsin x } $$