1. Datos del problema:
Integral de una fracción con bases exponenciales de potencia 2.

2. Fórmulas y propiedades:

• Propiedades de potencias: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.


• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$


• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos el integrando expresando todo en base 2:
$$ \frac{(2^3)^{1+x} + (2^2)^{1+x}}{2^{2x}} = \frac{2^{3+3x} + 2^{2+2x}}{2^{2x}} $$
Dividimos cada término del numerador por el denominador:
$$ \frac{2^{3+3x}}{2^{2x}} + \frac{2^{2+2x}}{2^{2x}} = 2^{(3+3x)-2x} + 2^{(2+2x)-2x} = 2^{3+x} + 2^2 $$
Esto es equivalente a:
$$ 2^3 \cdot 2^x + 4 = 8 \cdot 2^x + 4 $$
Integramos la expresión simplificada:
$$ \int (8 \cdot 2^x + 4) dx = 8 \int 2^x dx + \int 4 dx $$
$$ = 8 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + 4x + C $$
$$ \boxed{ \int \left( \frac{8^{1+x} + 4^{1+x}}{2^{2x}} \right) dx = \frac{8 \cdot 2^x}{\ln 2} + 4x + C } $$