1. Datos del problema:
Se solicita resolver una integral indefinida con una función trigonométrica en el denominador de segundo grado.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad fundamental: $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$


• Relación: $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$


• Derivada: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$

3. Desarrollo paso a paso:
Para resolver integrales de la forma $\frac{1}{a + b\cos^2 x}$, una técnica efectiva es dividir tanto el numerador como el denominador por $\cos^2 x$:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}} dx \\ I &= \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + 1} dx \end{aligned} $$
Sustituimos la identidad $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ en el denominador:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan^2 x) + 1} dx \\ I &= \int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx \end{aligned} $$
Realizamos un cambio de variable:
Sea $u = \tan x$, entonces $du = \sec^2 x \, dx$. La integral se transforma en:
$$ I = \int \frac{du}{u^2 + 2} = \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{2})^2} $$
Aplicamos la fórmula de la integral inmediata $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$:
$$ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C $$
Volviendo a la variable original $x$:
$$ \boxed{ \int \frac{dx}{1 + \cos^2 x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C } $$