1. Identificación de la indeterminación \\
Primero, simplificamos la expresión utilizando identidades trigonométricas básicas:
$\frac{1}{\cot(x)} = \tan(x)$ y $\frac{1}{\cot(2x)} = \tan(2x)$.
Reescribimos el límite:
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} [\tan(x)]^{\tan(2x)}$$
Evaluamos el límite cuando $x \to \frac{\pi}{4}$:

• $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$


• $\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{2}) = \infty$

Esto nos da la forma indeterminada $1^\infty$.

2. Propiedad de los límites exponenciales ⚙ \\
Para resolver límites de la forma $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = 1^\infty$, utilizamos la siguiente propiedad:
$$L = e^{\lim_{x \to a} [f(x) - 1] \cdot g(x)}$$
Donde $f(x) = \tan(x)$ y $g(x) = \tan(2x)$. Aplicando la fórmula:
$$L = e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} [\tan(x) - 1] \cdot \tan(2x)}$$

3. Desarrollo del exponente \\
Llamemos $E$ al límite del exponente:
$$E = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} [\tan(x) - 1] \cdot \tan(2x)$$
Recordamos la identidad del ángulo doble para la tangente: $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$. Sustituimos:
$$E = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan(x) - 1) \cdot \left[ \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \right]$$
Notamos que el denominador es una diferencia de cuadrados: $1 - \tan^2(x) = (1 - \tan(x))(1 + \tan(x))$. Además, $(\tan(x) - 1) = -(1 - \tan(x))$. Sustituimos y simplificamos:
$$E = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(1 - \tan(x)) \cdot 2\tan(x)}{(1 - \tan(x))(1 + \tan(x))}$$
Cancelamos el factor crítico $(1 - \tan(x))$ que causaba la indeterminación:
$$E = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-2\tan(x)}{1 + \tan(x)}$$

4. Evaluación final ✅ \\
Evaluamos el valor de la tendencia:
$$E = \frac{-2\tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})} = \frac{-2(1)}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$$
Finalmente, regresamos a la base $e$:
$$L = e^E = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Resultado:
$$L = \frac{1}{e}$$