1. Análisis de la forma indeterminada
Evaluamos la tendencia de los argumentos cuando $n \to \infty$:

• $\frac{n+1}{n+2} \to 1 \implies \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$


• $\frac{n+2}{n} \to 1 \implies \operatorname{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$

Esto nos da una forma indeterminada del tipo $\infty \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \infty \cdot 0$.

2. Transformación trigonométrica
Usamos la identidad $\operatorname{arccot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x > 0$. Como $n \to \infty$, el argumento es positivo:
$$\operatorname{arccot}\left(\frac{n+2}{n}\right) = \arctan\left(\frac{n}{n+2}\right)$$

Sustituimos en el límite y factorizamos $n$:
$$L = \lim_{n \to \infty} n \left[ \arctan\left(\frac{n+1}{n+2}\right) - \arctan\left(\frac{n}{n+2}\right) \right]$$

3. Aplicación de la identidad de resta de arcotangentes
Recordemos que: $\arctan(A) - \arctan(B) = \arctan\left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$.
Definimos $A = \frac{n+1}{n+2}$ y $B = \frac{n}{n+2}$:

• $A - B = \frac{n+1-n}{n+2} = \frac{1}{n+2}$


• $1 + AB = 1 + \frac{n(n+1)}{(n+2)^2} = \frac{n^2+4n+4+n^2+n}{(n+2)^2} = \frac{2n^2+5n+4}{(n+2)^2}$

Entonces:
$$\frac{A-B}{1+AB} = \frac{1}{n+2} \cdot \frac{(n+2)^2}{2n^2+5n+4} = \frac{n+2}{2n^2+5n+4}$$

4. Cálculo final del límite
Sustituyendo en $L$:
$$L = \lim_{n \to \infty} n \cdot \arctan\left( \frac{n+2}{2n^2+5n+4} \right)$$
Como el argumento tiende a $0$, usamos el límite notable $\lim_{u \to 0} \frac{\arctan(u)}{u} = 1$:
$$L = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{n+2}{2n^2+5n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n}{2n^2+5n+4}$$
Dividiendo por el mayor grado ($n^2$):
$$L = \frac{1}{2}$$