1. Simplificación de las funciones originales
Para $f(x)$:

• En $[-7, -2)$, $|x| = -x \implies f_1(x) = \sqrt{1-x}$. Rango: $x \in [-7, -2) \implies f(x) \in (\sqrt{3}, \sqrt{8}]$.


• En $[0, 2)$, $0 \le \frac{x}{2} < 1 \implies \lfloor \frac{x}{2} \rfloor = 0$. Entonces $f_2(x) = x^2$. Rango: $x \in [0, 2) \implies f(x) \in [0, 4)$.

Para $g(x)$:

• Si $x \le 0$, $x - |x| = x - (-x) = 2x$. Entonces $g_1(x) = 2^{2x}$.


• Si $x > 0$, $g_2(x) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln x$.

2. Composición $(g \circ f)(x)$
La composición se define como $g(f(x))$. Analizamos por tramos de $f$:

Caso A: $x \in [-7, -2)$
$f(x) = \sqrt{1-x}$. Los valores de este tramo están entre $\sqrt{3}$ y $\sqrt{8}$, que son todos mayores a 0. Por tanto, entran en el segundo tramo de $g(x)$:
$$(g \circ f)(x) = \frac{1}{2} \ln(\sqrt{1-x}) = \frac{1}{4} \ln(1-x)$$

Caso B: $x \in [0, 2)$
$f(x) = x^2$.

• Si $x=0$, $f(0)=0$. Como $0 \le 0$, entra en el primer tramo de $g$: $g(0) = 2^{2(0)} = 1$.


• Si $x \in (0, 2)$, $f(x) > 0$. Entra en el segundo tramo de $g$: $g(x^2) = \frac{1}{2} \ln(x^2) = \ln(x)$.

3. Función resultante
$$(g \circ f)(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} \ln(1-x) & ; -7 \le x < -2 \\ 1 & ; x = 0 \\ \ln(x) & ; 0 < x < 2 \end{cases}$$

4. Gráfica

La función presenta una asíntota vertical en $x=0$ por la derecha (debido a $\ln x$) y un punto aislado en $(0,1)$.