Utilizaremos la Fórmula de Leibniz para la derivada de un producto $(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$.

Sea $u = 3x$ y $v = e^{-2x}$.
Sus derivadas son:

• $u' = 3$, $u'' = 0$, $u^{(k)} = 0$ para $k \ge 2$.
• $v^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}$.

Aplicando la fórmula, solo sobreviven los dos primeros términos (cuando la derivada de $3x$ no es cero):
$$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} (3x) \frac{d^n}{dx^n}(e^{-2x}) + \binom{n}{1} \frac{d}{dx}(3x) \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(e^{-2x})$$
$$f^{(n)}(x) = 1 \cdot (3x) \cdot (-2)^n e^{-2x} + n \cdot (3) \cdot (-2)^{n-1} e^{-2x}$$

Factorizando $3 \cdot (-2)^{n-1} e^{-2x}$:
$$f^{(n)}(x) = 3 \cdot (-2)^{n-1} e^{-2x} [x(-2) + n]$$
$$f^{(n)}(x) = 3(-2)^{n-1} (n - 2x) e^{-2x}$$