I
MAT101 • Limites_continuidad
CALC_EXAM_063
UMSA 2016
Enunciado
Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$
$$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$
Solución Paso a Paso
El límite presenta una indeterminación de la forma $\infty - \infty$.
1. Combinar fracciones:
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$
2. Aplicar desarrollos en serie de Taylor o L'Hôpital:
Sabemos que $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.
Numerador: $(1 + x + \frac{x^2}{2}) - 1 - x = \frac{x^2}{2}$
Denominador: $x(e^x - 1) \approx x(x) = x^2$
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$$
1. Combinar fracciones:
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$
2. Aplicar desarrollos en serie de Taylor o L'Hôpital:
Sabemos que $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.
Numerador: $(1 + x + \frac{x^2}{2}) - 1 - x = \frac{x^2}{2}$
Denominador: $x(e^x - 1) \approx x(x) = x^2$
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$$