Aprende con Inteligencia

Simplifique el siguiente radical doble:
$$ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} $$

Calcular el valor de la integral:
$$ \int e^x \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} + 1 - \frac{2x^2}{\sqrt{(1 + x^2)^5}} \right\} dx = $$

(a) \( e^x \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{(1 + x^2)^3}} \right) + c \)

(b) \( e^x \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{x}{\sqrt{(1 + x^2)^3}} \right) + c \)

(c) \( e^x \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{(1 + x^2)^5}} \right) + c \)

(d) \( e^x \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{(1 + x^2)}} \right) + c \)

Si $y = x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2 + \dots \infty}}}$, entonces $\dfrac{dy}{dx}$ es:

1. [a.] $\dfrac{2xy}{2y-x^2}$
2. [b.] $\dfrac{xy}{y+x^2}$
3. [c.] $\dfrac{xy}{y-x^2}$
4. [d.] $\dfrac{2xy}{2 + x^2/y}$

Si $4n\theta = \pi$, demuestre que:
$$ \sin^2 \theta + \sin^2 3\theta + \sin^2 5\theta + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \frac{n}{2} $$

Paso 1:
Se tiene una P.A. de 3 términos. Al 3er término se le suma una cantidad desconocida $k$ y se convierte en P.G. Si al 1er y 2do término de la P.G. se le multiplica por esa cantidad $k$ y al 3er término se le adiciona la suma de los términos de la P.A. inicial, vuelve a formarse otra P.A. Sabiendo que la razón de esta última es el triple de la cantidad desconocida, escriba la primera P.A.

Calcule:
$$\int_e^{e^e} \frac{\log x \cdot \log(\log x)}{x} \, dx$$

Resuelve la ecuación:
$$ |x^2 + x - 1| = 2x - 1 $$

Paso 1:
Demuestre que la normal a una parábola en cualquiera de sus puntos $P_0$ biseca el ángulo incluido por el radio focal de $P_0$ y la línea que pasa por $P_0$ paralela al eje de la parábola.

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
$$ 3\cos^2 x - \sin^2 x - \sin(2x) = 0 $$

Demostrar que:
$$ \sin^8 A - \cos^8 A = (\sin^2 A - \cos^2 A) \times (1 - 2\sin^2 A \cos^2 A) $$

Si $P_{(x)}=3(x-2)(x^2+mx+1)(x^n-2)$ está factorizado sobre $\mathbb{Z}$, calcule el menor valor positivo de $(m+n)$.

A) 1      B) 2      C) 3      D) 4      E) 5

Si $\sin x + \sin y = 3(\cos x - \cos y)$, demuestre que:
$$ \sin(3x) + \sin(3y) = 0 $$