Aprende con Inteligencia

Demuestre que:
$$ \frac{1}{\cos \theta + \cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta + \cos 3\theta} + \frac{1}{\cos \theta + \cos 5\theta} + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} = \csc \theta [\tan (n+1)\theta - \tan \theta] $$

Paso 1:
Un cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba desde la tierra de acuerdo con la ecuación $s = 64t - 16t^2$. Demuestre que ha perdido la mitad de su velocidad en sus primeros $48\text{ ft}$ de ascenso.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
$$ \begin{cases} x + y = \dfrac{2\pi}{3} \\ \dfrac{\sin x}{\sin y} = 2 \end{cases} $$

Paso 1:
Demuestre que si $a \in \mathbb{N}$, entonces $\frac{a^5}{120} + \frac{a^4}{12} + \frac{7a^3}{24} + \frac{5a^2}{12} + \frac{a}{5}$ es un número entero.

Calcule:
$$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}} dx$$

Paso 1:
Dos puntos $A$ y $B$ están a $105 \text{ km}$ de distancia. Un autobús salió de $A$ hacia $B$ a una velocidad $v \text{ km/h}$. Treinta minutos más tarde, un automóvil que viajaba a $40 \text{ km/h}$ siguió al autobús. Tras haber alcanzado al autobús, el coche regresa a $A$ a la misma velocidad. ¿Para qué rango de valores de $v$ llegará el autobús a $B$ antes de que el coche llegue a $A$?

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x(1 + \ln x)^2} $$

Sabiendo que $x, y, z$ son los ángulos interiores de un triangulo. Demuestre que:
$\sin^{2} x + \sin^{2} y + \sin^{2} z - 2\cos x \cos y \cos z = 2$

Sabiendo que $b \neq 1$, y que la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es: $(b^2+1)(b+1)$. Halle el primer término.
$$ \text{Resp. } \frac{b^4 - 1}{b^5 - 1} $$

Calcule la integral de la función "parte entera" o "máximo entero" ($\lfloor \cdot \rfloor$):
$$\int_0^1 \left\lfloor \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \right\rfloor \, dx$$

Evaluar:
$$ \int \sin^6 x dx $$

17. Hallar el término cuadrático de un polinomio $P(x)$ de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coeficientes son números enteros consecutivos, se sabe además que si se divide dicho polinomio entre $(x - 1)$ el resto es 35.

a) 5      b) 6      c) 7      d) 8      e) 9