Aprende con Inteligencia

Hallar $y', y'', y'''$ en:
(a) El punto $(2,1)$ sobre $x^2 - y^2 - x = 1$
(b) El punto $(1,1)$ sobre $x^3 + 3x^2y - 6xy^2 + 2y^3 = 0$

Paso 1:
Demostrar: Si $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene dos puntos críticos, estos son bisecados por el punto de inflexión. Si la curva tiene solo un punto crítico, este es el punto de inflexión.

Resuelve la ecuación:
$$4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 47$$

Si $\int f(x) \sin x \cdot \cos x \, dx = \frac{1}{(b^{2} - a^{2})} \log(f(x)) + k$, entonces $f(x)$ es:

(a) $\frac{1}{a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x} + c$
(b) $\frac{1}{a^{2} \sin^{2} x - b^{2} \cos^{2} x} + c$
(c) $\frac{1}{a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x} + c$
(d) $\frac{1}{a^{2} \cos^{2} x - b^{2} \sin^{2} x} + c$

Resolver la ecuación:
$$ \sin^6 x + \cos^6 x = a $$

Simplificar:
$$\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$$

Demostrar que el valor de la integral es:
$$ \int_{0}^{\pi/2} \cos(3x) \cos(5x) \cos(7x) dx = \frac{14}{45} $$

Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x - 3}} $$

Un galgo persigue a una liebre que le lleva 77 saltos, se sabe que 12 saltos del galgo equivalen a 17 de la liebre, y que en el tiempo en que el galgo da un número de saltos igual a los que ha dado la liebre desde que el galgo comenzó la persecución, la liebre había dado 116 saltos más. Se pide el número de saltos que da la liebre hasta que es alcanzada por el galgo.

a) 600      b) 500      c) 658      d) 558      e) 588

Resolver el sistema de ecuaciones, hallando las soluciones en la primera vuelta ($0 \le x, y < 360^\circ$):
$$ \begin{cases} 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \cos^2\left(\frac{y}{2}\right) - 2 \operatorname{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right) \operatorname{sen}^2\left(\frac{y}{2}\right) = 1 \\ 4 \cos x \cos y = 1 \end{cases} $$

Simplificar la expresión fraccionaria:
$$ \frac{a^3b - ab^3 + b^3c - bc^3 + c^3a - ca^3}{a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2} $$

Paso 1:
Si $2 \cos A = x + \frac{1}{x}$ y $2 \cos B = y + \frac{1}{y}$, hallar $\cos(A-B)$.