Aprende con Inteligencia

Paso 1:
Sea $g(x) = f(x) \sin x$, donde $f(x)$ es una función dos veces diferenciable en $(-\infty, \infty)$ tal que $f'(-\pi) = 1$. Determine el valor de $|g''(-\pi)|$.

Resuelva la siguiente integral trigonométrica:
$$ \int \frac{(\tan(1012x) + \tan(1013x)) \cos(1012x) \cos(1013x)}{\cos(2025x)} dx $$

Evaluar:
$$ \int \left( \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx $$

Simplificar la expresión:
$$ \left( \frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a} - \sqrt{1-a}} + \frac{1-a}{\sqrt{1-a^2} - 1+a} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{a^2} - 1} - \frac{1}{a} \right) $$

Evaluar:
$$ \int \tan^3 x \cdot \sec^2 x dx $$

Demuestre que se cumple la siguiente igualdad:
$$ \log \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\log a + \log b) $$
siempre que se satisfaga la condición:
$$ a^2 + 4b^2 = 12ab $$

Hallar la integral indefinida:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}} $$

Paso 1:
Demuestre que las líneas tangentes a las curvas $5y - 2x + y^3 - x^2y = 0$ y $2y + 5x + x^4 - x^3y^2 = 0$ en el origen se intersecan en ángulo recto.

Determine si el siguiente par de ecuaciones son equivalentes:
$$ x^2 + 1 = 0 \quad \text{y} \quad \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$

Paso 1:
Demostrar que $(7^{n+2} + 8^{2n+1})$ es divisible por $57$.

Evaluar la integral definida:
$$\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{x - 1} \, dx$$

Sabiendo que:
$$ M = 2 \left( \sqrt[a]{\frac{28^a + 112^a}{28^a + 7^a}} \right)^3 ; \quad N = 4 \left( \sqrt[a]{\frac{10^a + 50^a}{25^a + 5^a}} \right)^5 $$
Hallar el valor de $M - N$.

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 0 & \text{B) } 7 & \text{C) } 14 & \text{D) } 28 & \text{E) } 36 \end{array} $$