Aprende con Inteligencia

Evalúe la siguiente integral impropia:
$$ \int_{0}^{\infty} (36x^5 - 12x^6 + x^7) e^{-x} \, dx $$

Paso 1:
Un grupo de estudiantes decide alquilar un equipo de laboratorio por un costo total de $1200$ dólares, dividiendo el gasto en partes iguales. Sin embargo, al momento de realizar el pago, $5$ estudiantes se retiran del grupo, lo que obliga a los restantes a pagar $10$ dólares adicionales cada uno. Determine cuántas personas conformaban el grupo originalmente.

Calcule:
$$\int_0^1 x(1 - x)^{99} dx$$

Paso 1:
Dos ríos desembocan en un lago. Un bote de motor sale del embarcadero $A$ situado en el primer río, recorre $24\text{ km}$ río abajo hasta llegar al lago, navega por el lago durante dos horas y luego recorre $32\text{ km}$ por el segundo río hasta llegar al embarcadero $B$. El bote tardó $8$ horas en recorrer todo el camino de $A$ a $B$. Si el bote hubiera navegado $18\text{ km}$ más por el lago, habría recorrido todo el camino en $10$ horas. Hallar la velocidad de la corriente de cada río, si se sabe que la velocidad de la corriente del primer río es $2\text{ km/h}$ mayor que la del segundo río.

Se sabe que el cuádruplo del número de monedas que hay dentro de un bolso es tal, que disminuido en 5, no puede exceder de 31, y que el quíntuplo del mismo número de monedas aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál es dicho número?

a) 7      b) 12      c) 10      d) 9      e) 7

Calcular el valor de la siguiente integral definida que involucra la función parte entera y logaritmos:
$$ \int_{1}^{2024} \lfloor \log_{43}(x) \rfloor dx $$

Reducir la expresión:
$$ S = \frac{2 \sqrt[x-7]{x^{2x}} - x^2 \sqrt[x-7]{x^{14}}}{\sqrt[x-7]{x^{x+7}}} $$
Sabiendo que: $x \in \mathbb{Z}^+ / x \geq 2008$

$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 1 & \text{B) } x & \text{C) } 2x & \text{D) } 2 & \text{E) } x^2 \end{array} $$

Paso 1:
52. $y = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$; hallar $y''$

Paso 1:
Pruebe que $(a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+10$ es un número positivo para todo $a \in \mathbb{R}$.

Simplificar y hallar el valor de la expresión $E$:
$$ E = \frac{x^3 + (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x + a^2b}{x^3 + (a + 2b)x^2 + (2ab + b^2)x + ab^2} \cdot \sqrt{\frac{(b - a)(b + a + 2x)}{a^2 + 2ax + x^2} + 1} $$

a) 1      b) 4      c) 2      d) 3      e) 6

Paso 1:
Si $m = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)$, determine el valor de $(2m + 2 - \sqrt{7})$.

Hallar el ángulo que forman en sus intersecciones las curvas:
$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \quad ; \quad x^2 - y^2 = 1$$